Sono circa 18000 i satelliti in orbita intorno alla Terra. Molti di essi raccolgono milioni di dati che possono essere ad esempio meteorologici, geofisici, geomagnetici e che vanno trattati opportunamente. Tra le varie tecniche raccontiamo qui la cosiddetta “approssimazione sferica di dati sparsi”.
Da un punto di vista matematico la superficie sferica è un esempio particolarmente interessante di superficie dato che molte considerazioni su di essa possono essere estese ad altre, come ad esempio il cono e il cilindro. Per questo motivo l’approssimazione di dati sulla sfera ha sempre attratto l’attenzione di matematici teorici e applicati. In particolare, poi, nelle Scienze e nell’Ingegneria è cresciuta la richiesta di approssimare milioni di dati in modo accurato e veloce. Applicazioni dell’approssimazione sferica si possono trovare ad esempio nel CAGD (Computer Aided Geometric Design), nella geofisica e geomagnetica, nella meteorologia. In questi ultimi campi un ruolo fondamentale è ricoperto dai dati satellitari, che di solito riguardano parametri fisici rilevati sulla Terra, anch’essa approssimabile a una sfera. Per esempio, a partire da una serie di dati di temperatura della superficie terrestre, può essere utile ricostruire delle mappe di distribuzione del calore.
Tra le varie tecniche di trattamento di questi dati entrano in gioco l’approssimazione e l’interpolazione sferiche. Il primo metodo ad essere utilizzato fu quello delle armoniche sferiche, che sono l’analogo dei classici polinomi (come può essere x2+2x-3, ad esempio) ma definiti sulla superficie sferica invece che su una superficie piana. Più recentemente si sono considerate estensioni e generalizzazioni di funzioni dipendenti dalla distanza. Nel piano tali funzioni dipendono dalla distanza tra i punti da approssimare e costituiscono al momento il migliore strumento di approssimazione di dati sparsi, dato che minimizzano l’errore di approssimazione.
Sulla sfera si possono analogamente definire tali funzioni che però, in questo caso, dipenderanno dalla distanza geodesica (definita come la lunghezza del minimo arco di cerchio massimo che congiunge due punti sulla sfera). A causa dell’instabilità degli algoritmi numerici (piccole variazioni - errori - negli input possono portare a grandi variazioni negli output, ndr.) che servono a calcolare l’approssimante usando queste funzioni, negli ultimi anni sono stati messi a punto metodi locali ibridi che prevedono l’uso anche di armoniche sferiche di basso grado per migliorare l’approssimazione.
Come spesso accade quindi nella Matematica Numerica, ambito in cui si muove la nostra ricerca, vengono usati più ingredienti insieme in modo da raggiungere il migliore risultato: ottenere contemporaneamente risultati ottimali di accuratezza, stabilità ed efficienza, intesa come velocità di calcolo. Quest’ultima caratteristica è fondamentale nel caso di dati satellitari, vista l’elevata mole di dati da trattare.
Intense sperimentazioni sono state svolte negli ultimi anni nella comunità internazionale per testare questi metodi. Poiché la Terra ruota intorno al proprio asse, e il satellite ruota passando vicino ai poli in un percorso ellittico, i dati rilevati a intervalli di tempo costituiscono punti discreti lungo tracce come evidenziato nella fig. 1. I dati vengono pretrattati e quindi approssimati con i metodi sopracitati.
Potenzialmente le tecniche matematiche sviluppate in questa ricerca possono essere estese e applicate a osservazioni relative anche alla Luna o ad altri pianeti, perché si tratta sempre di corpi celesti approssimabili a sfere.
