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Matematica: teorie e applicazioni

L’infinito matematico: cos’è e come si studia

L'infinito ha sempre affascinato. Lo incontriamo fin dai primi anni di vita scoprendo che non esiste il numero più grande, e poi ci scontriamo con i suoi aspetti più sfuggenti confrontandoci con i paradossi di Zenone. Il mio progetto ha esplorato l'infinito nell'ambito matematico

Ci scontriamo con il pensiero dell'infinito fin dai primi anni della nostra vita e dagli albori della nostra civiltà. Da bambini ne prendiamo coscienza quando realizziamo che, nella gara a chi dice il numero più grande, vince chi dichiara: "Il mio numero è sempre uguale al tuo numero più 1". Il celebre paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga illustra come la natura sfuggente dell'infinito si manifesti già nel pensiero dei greci antichi. 2000 anni dopo Galileo evidenzia che la comparazione di quantità infinite non rispetta assunzioni di base sulle quantità, come “il tutto è maggiore della parte”: per esempio ci sono tanti numeri pari quanti numeri naturali (interi e non negativi) dato che la corrispondenza di un numero naturale col suo doppio è biunivoca.

Nella matematica moderna si son dovute risolvere le numerose questioni spinose e paradossali che sorgono da una trattazione superficiale del concetto di infinito. A cavallo tra ‘800 e ‘900 alcuni paradossi hanno messo in crisi la (fino a quel momento) incrollabile certezza della verità assoluta della matematica. Questo è avvenuto in gran parte tramite il lavoro di Georg Cantor (1845-1918) che ha formulato una teoria degli infiniti matematicamente rigorosa, servita poi da fondamento teorico e filosofico per le diverse discipline matematiche. Ciò nonostante alcune questioni di base che riguardano l'infinito matematico sono state dimostrate essere indecidibili sulla base delle verità comunemente accettate per la matematica. L'esempio più eclatante di indecidilità è l'ipotesi del continuo, che asserisce: “Qualunque sottoinsieme infinito della retta dei numeri reali o è numerabile (può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali) oppure è in corrispondenza biunivoca con i numeri reali”. Kurt Goedel (1906-1978) e Paul Cohen (1934-2007) hanno mostrato che l'ipotesi del continuo non è decidibile sulla base delle verità matematiche comunemente riconosciute tali. È infatti possibile definire due distinte rappresentazioni della matematica (dovute ai due studiosi) che rispecchiano la nostra intuizione, riconoscendo come veri quei fatti matematici su cui non abbiamo dubbi. Ma per una di queste rappresentazioni l'ipotesi del continuo è vera, mentre per l'altra è falsa. Questo evidenzia come il relativismo dei concetti possa permeare anche la matematica.

Il mio progetto analizza la natura del concetto di infinito con gli strumenti della matematica, nel solco delle ricerche di Goedel e Cohen, contribuendo a evidenziare come l'infinito giochi un ruolo centrale nel nostro pensiero e nella modellizzazione matematica del mondo. In particolare mi sono occupato di indagare se ci possano essere altre verità matematiche, meno evidenti di quelle già riconosciute valide dalla comunità matematica. Verità che, una volta accettate, permettano di risolvere senza ambiguità la gran parte dei numerosi problemi matematici che oggi risultano indecidibili, a partire dall'ipotesi del continuo.


autore

Matteo Viale
Dipartimento

Pubblicato il

02 gennaio 2017

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