Può sembrare strano ma a collegare questi due contesti lontanissimi fra loro sono i comuni paradigmi matematici: in entrambi i casi si tratta infatti di meccanismi legati a un'interazione molto forte che sovraintende la dinamica complessiva. Il progetto ERC Advanced COMPAT “Complex Patterns for strongly interacting dynamical systems” studia modelli e paradigmi teorici comuni a processi di interazione assai diversi fra loro. Nella nostra ricerca ci interessano:
• le interazioni fortemente attrattive: come nel classico problema N-corpi della meccanica celeste (sistemi solari, galassie, ecc.), dove l'equilibrio tra attrazione ed effetti centrifughi produce soluzioni che mostrano una dinamica complessa. Più precisamente, siamo interessati a soluzioni periodiche limitate e alle traiettorie paraboliche, con l'intento finale di dimostrare la densità di soluzioni periodiche e la comparsa del caos;
• le interazioni fortemente repulsive: come nei sistemi competizione-diffusione, che intervengono nei modelli di dinamica delle popolazioni (sistemi di Lotka-Volterra) e di altri fenomeni fisici rilevanti, tra cui la fase di separazione delle onde solitarie di sistemi di Gross-Pitaevskiǐ derivanti nello studio di particolari condensati di Bose-Einstein. Il nostro obiettivo finale è quello di studiare la comparsa di regioni nodali e catturarne la geometria.
In tutti questi casi, abbiamo a che fare con le soluzioni non banali di sistemi di equazioni differenziali caratterizzati da interazioni forti e spiccatamente non lineari. Inoltre, lo spazio delle configurazioni è tipicamente multi-dimensionale o addirittura infinito-dimensionale, e vogliamo comprendere l'effetto della non linearità sulla nascita di strutture auto-organizzate non banali. Tali strutture vengono fatte corrispondere a soluzioni (o insiemi di soluzioni) selezionate del sistema differenziale, in possesso di simmetrie speciali o che assumono forme particolari. Vogliamo capire, dal punto di vista matematico, quali sono i principali meccanismi coinvolti nel processo di aggregazione in termini di struttura variazionale globale del problema: caratteristica comune dei nostri modelli è infatti quella di possedere delle quantità (lunghezze, energie) che vengono naturalmente minimizzate nel sistema. Altre caratteristiche sono: (a) l'interazione è il meccanismo prevalente, (b) le equazioni sono molto lontane dal poter essere risolte esplicitamente, (c) i problemi non possono essere visti come perturbazioni di sistemi semplici (ad esempio integrabili).
Giunti a metà del progetto COMPAT, abbiamo fatto diverse scoperte interessanti: per esempio abbiamo capito la struttura delle configurazioni a spirale per i sistemi di popolazioni in competizione con coefficienti di interazione interspecifica asimmetrici e abbiamo fatto un primo passo per costruire una dinamica simbolica del sistema della meccanica celeste.