Matematica: teorie e applicazioni

Modelli complessi per sistemi dinamici fortemente interagenti

Cosa lega i processi di aggregazione dei corpi celesti, regolati nel loro moto dalla reciproca attrazione gravitazionale, alla dinamica delle specie biologiche, chimiche, fisiche, ma anche umane, che interagiscono in modo fortemente competitivo?

Può sembrare strano ma a collegare questi due contesti lontanissimi fra loro sono i comuni paradigmi matematici: in entrambi i casi si tratta infatti di meccanismi legati a un'interazione molto forte che sovraintende la dinamica complessiva. Il progetto ERC Advanced COMPAT “Complex Patterns for strongly interacting dynamical systems” studia modelli e paradigmi teorici comuni a processi di interazione assai diversi fra loro. Nella nostra ricerca ci interessano:

• le interazioni fortemente attrattive: come nel classico problema N-corpi della meccanica celeste (sistemi solari, galassie, ecc.), dove l'equilibrio tra attrazione ed effetti centrifughi produce soluzioni che mostrano una dinamica complessa. Più precisamente, siamo interessati a soluzioni periodiche limitate e alle traiettorie paraboliche, con l'intento finale di dimostrare la densità di soluzioni periodiche e la comparsa del caos;
• le interazioni fortemente repulsive: come nei sistemi competizione-diffusione, che intervengono nei modelli di dinamica delle popolazioni (sistemi di Lotka-Volterra) e di altri fenomeni fisici rilevanti, tra cui la fase di separazione delle onde solitarie di sistemi di Gross-Pitaevskiǐ derivanti nello studio di particolari condensati di Bose-Einstein. Il nostro obiettivo finale è quello di studiare la comparsa di regioni nodali e catturarne la geometria.

In tutti questi casi, abbiamo a che fare con le soluzioni non banali di sistemi di equazioni differenziali caratterizzati da interazioni forti e spiccatamente non lineari. Inoltre, lo spazio delle configurazioni è tipicamente multi-dimensionale o addirittura infinito-dimensionale, e vogliamo comprendere l'effetto della non linearità sulla nascita di strutture auto-organizzate non banali. Tali strutture vengono fatte corrispondere a soluzioni (o insiemi di soluzioni) selezionate del sistema differenziale, in possesso di simmetrie speciali o che assumono forme particolari. Vogliamo capire, dal punto di vista matematico, quali sono i principali meccanismi coinvolti nel processo di aggregazione in termini di struttura variazionale globale del problema: caratteristica comune dei nostri modelli è infatti quella di possedere delle quantità (lunghezze, energie) che vengono naturalmente minimizzate nel sistema. Altre caratteristiche sono: (a) l'interazione è il meccanismo prevalente, (b) le equazioni sono molto lontane dal poter essere risolte esplicitamente, (c) i problemi non possono essere visti come perturbazioni di sistemi semplici (ad esempio integrabili).

Giunti a metà del progetto COMPAT, abbiamo fatto diverse scoperte interessanti: per esempio abbiamo capito la struttura delle configurazioni a spirale per i sistemi di popolazioni in competizione con coefficienti di interazione interspecifica asimmetrici e abbiamo fatto un primo passo per costruire una dinamica simbolica del sistema della meccanica celeste.


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autore

Susanna Terracini
Dipartimento

Matematica "Giuseppe Peano"
Pubblicato il

16 Marzo 2017

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